【ฉบับพิมพ์หนังสือเรียนของสำนักงานการศึกษาแห่งชาติ】คณิตศาสตร์มัธยมต้น ชั้นมัธยมปีที่ 1 ภาคเรียนที่ 2: จากความสมดุลไปสู่ความไม่สมมาตร: คุณสมบัติของอสมการและการเปลี่ยนทิศทางของเครื่องหมาย

ในบทเรียนนี้ เราจะก้าวข้ามจาก 'ความงามของสมดุล' ในสมการ มาสู่ 'ความไม่สมมาตรแบบไดนามิก' ของอสมการ แนวคิดหลักคือการเข้าใจว่าเครื่องหมายอสมการจะคงทิศทางไว้โดย 'ความเฉื่อย' เมื่อใด และจะเกิดการเปลี่ยนแปลงอย่างฉับพลันในเงื่อนไขเฉพาะเจาะจงใด — โดยเฉพาะเมื่อใช้การดำเนินการกับจำนวนลบตามคุณสมบัติข้อ 3 ซึ่งทำลายลำดับเดิม นี่คือหัวใจสำคัญของการเข้าใจตรรกะการดำเนินการของระบบอสมการ

1. วิธีเปรียบเทียบผลต่าง: แก่นแท้ของความสัมพันธ์อสมการ

แก่นแท้ของความสัมพันธ์อสมการคือการเลื่อนตำแหน่งสัมพัทธ์ของค่าตัวเลขบนเส้นจำนวน แนวคิดในการตัดสินความสัมพันธ์ขนาดโดยอาศัยผลลัพธ์จากการลบ ถือเป็นตรรกะพื้นฐานในการจัดการกับอสมการที่ซับซ้อน:

เมื่อ $a - b > 0$ เกิดขึ้น แน่นอนว่า $a > b$;
เมื่อ $a - b = 0$ เกิดขึ้น แน่นอนว่า $a = b$;
เมื่อ $a - b < 0$ เกิดขึ้น แน่นอนว่า $a < b$

2. คุณสมบัติการคงเครื่องหมาย: การเลื่อนตำแหน่งและการขยายเชิงบวก

ปฏิบัติตามคุณสมบัติข้อ 1 และ 2 ของอสมการ เมื่อเพิ่มหรือลบจำนวนเดียวกัน หรือคูณหรือหารด้วยจำนวนบวกเดียวกัน ทั้งสองข้างของอสมการ จุดบนเส้นจำนวนอาจเลื่อนหรือขยาย แต่ลำดับก่อนหลังยังคงเหมือนเดิม

คุณสมบัติข้อ 1: เมื่อเพิ่ม (หรือลบ) จำนวนเดียวกัน (หรือพจน์เดียวกัน) ทั้งสองข้างของอสมการ เครื่องหมายอสมการไม่เปลี่ยนทิศทาง
คุณสมบัติข้อ 2: เมื่อคูณ (หรือหารด้วย) จำนวนบวกเดียวกัน ทั้งสองข้างของอสมการ เครื่องหมายอสมการไม่เปลี่ยนทิศทาง

3. Effektภาพสะท้อน: จุดวิกฤติของการเปลี่ยนทิศทางของเครื่องหมาย

นี่คือหัวใจสำคัญที่สุดของบทเรียนนี้ เมื่ออสมการทั้งสองข้างคูณ (หรือหารด้วย) จำนวนลบเดียวกัน เครื่องหมายอสมการจะต้องเปลี่ยนทิศทางนี่แสดงให้เห็นถึงปรากฏการณ์ 'การสะท้อนกลับ' ของเครื่องหมายลบในการดำเนินการอสมการ

คุณสมบัติข้อ 3 (หลัก)

หาก $a > b, c < 0$ แล้ว $ac < bc$ (หรือ $rac{a}{c} < rac{b}{c}$)

🎯 สรุปสูตรหลัก

1. หาก $a > b$ แล้ว $a \pm c > b \pm c$
2. หาก $a > b, c > 0$ แล้ว $ac > bc$
3. หาก $a > b, c < 0$ แล้ว $ac < bc$

คำถามที่ 1

เติมเครื่องหมาย "$>$" หรือ "$<$" ลงในช่องว่าง: $5 > 3, 5+2 \_\_ 3+2, 5-2 \_\_ 3-2$

>, >

<, <

>, <

<, >

คำถามที่ 2

ทราบว่า $6 > 2$ ดังนั้น $6 \times (-5) \_\_ 2 \times (-5)$

$>$

$<$

$=$

ไม่สามารถระบุได้

คำถามที่ 3

กำหนดว่า $a > b$ ดังนั้น $-4a \_\_ -4b$

$>$

$<$

≥

≤

คำถามที่ 4

เปรียบเทียบขนาดของ $\sqrt{8}$ กับ $\sqrt{10}$

$\sqrt{8} > \sqrt{10}$

$\sqrt{8} < \sqrt{10}$

$\sqrt{8} = \sqrt{10}$

คำถามที่ 5

โจวจุนกล่าวว่าอสมการ $a > 2a$ จะไม่มีวันเป็นจริง คำพูดนี้ถูกต้องหรือไม่?

对，因为 $1 > 2$ 不成立

ไม่ถูกต้อง เมื่อ $a < 0$ แล้วเป็นจริง

ถูกต้อง นำมาจากคุณสมบัติข้อ 2

不对，当 $a = 0$ 时成立

คำถามที่ 6

เปรียบเทียบขนาดของ $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$ กับ $0.5$

$>$

$<$

$=$

คำถามที่ 7

แก้อสมการ $x-7 > 26$

$x > 19$

$x < 33$

$x > 33$

$x > 33$ และ $x \neq 0$

คำถามที่ 8

แก้อสมการ $-4x > 3$

$x > -\frac{3}{4}$

$x < -\frac{3}{4}$

$x < \frac{3}{4}$

$x > \frac{4}{3}$

คำถามที่ 9

ภาชนะทรงสี่เหลี่ยมมุมฉาก มีความยาว $5\text{cm}$, กว้าง $3\text{cm}$, สูง $10\text{cm}$ ระดับน้ำเดิมคือ $3\text{cm}$ ใส่น้ำลงไป $V\text{cm}^3$ ดังนั้นช่วงของ $V$ คือ:

$0 < V < 150$

$0 < V \leq 105$

$3 < V < 10$

$V \leq 150$

คำถามที่ 10

การแข่งขัน 20 ข้อ ตอบถูกได้ 10 คะแนน ตอบผิด/ไม่ตอบหัก 5 คะแนน คะแนนต้องเกิน 90 คะแนน ต้องตอบถูกอย่างน้อยกี่ข้อ?

✨ ประเด็นหลัก

บวกหรือลบจำนวนเดียวกันเครื่องหมายไม่เปลี่ยน၊คูณหรือหารด้วยจำนวนบวกก็ยังคง។เจอจำนวนลบต้องระมัดระวัง၊เปลี่ยนทิศทางเป็นสิ่งสำคัญ!

💡 ใช้การลบเปรียบเทียบขนาด

หากคุณไม่แน่ใจว่าพจน์เชิงนามธรรมสองพจน์ใดใหญ่กว่า ลองลบกันดู ผลลัพธ์มากกว่า 0 แสดงว่าพจน์ที่ถูกหักออกใหญ่กว่า ผลลัพธ์น้อยกว่า 0 แสดงว่าพจน์ที่หักออกเล็กกว่า

💡 เครื่องเตือนการเปลี่ยนเครื่องหมาย

ทุกครั้งที่คุณดำเนินการ 'คูณ' หรือ 'หาร' ทั้งสองข้างของอสมการ ให้บังคับตัวเองหยุด 0.5 วินาทีเพื่อตรวจสอบว่าเป็นบวกหรือลบ จำนวนลบต้องเปลี่ยนเครื่องหมาย!

💡 จุดกลมว่าง vs จุดกลมเต็ม

数轴表示时：$>$ 或 $<$ 用空心圆点（不包含边界）；$\geq$ 或 $\leq$ 用实心圆点（包含边界）。

💡 หุ่นล่อของโจวจุน

在含有字母因子的不等式两边除以该字母时（如除以 $a$），必须讨论 $a$ 是正数、负数还是零。零不能做除数。

💡 คำสำคัญในปัญหาจริง

“อย่างน้อย” ตรงกับ $\geq$ “เกิน” ตรงกับ $>$ “ไม่ถึง” ตรงกับ $<$ “ไม่เกิน” ตรงกับ $\leq$